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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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2. Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{2}{x}-\sqrt{x}$ en $x_{0}=4$

Respuesta

Más de lo mismo.. este es un ejercio muy de parcial..
1. Planteamos la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es:

$ y = mx + b $
Para el punto \((x_0, y_0)\) nos queda:

$ y_0 = mx_0 + b $
donde \(m = f'(x_0)\) y \(y_0 = f(x_0)\)

2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente \(m = f'(x_0)\):
$ f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{x} $
Para derivar \( f(x) \), aplicamos las reglas de derivación que ya vimos:
$ f'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \sqrt{x} \right)' $

El primer término podemos derivarlo de diferentes formas.. o lo reescribis como $2x^{-1}$ y derivas como una potencia, o pensas que es lo mismo que tener $2 \frac{1}{x}$ y derivas eso. Yo voy a ir por la segunda. Si reescribo $\left( \frac{2}{x} \right)'$ como $\left( 2 \frac{1}{x} \right)'$, como la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$, me queda $-\frac{2}{x^2}$:
$ \left( \frac{2}{x} \right)' = -\frac{2}{x^2} $
Y ahora derivamos el segundo término, por tabla o reescribiendo la función como potencia:
$ \left( \sqrt{x} \right)' = \left( x^{1/2} \right)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $


Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:
$ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $


Ahora evaluamos la derivada en \( x_0 = 4 \):
$ f'(4) = -\frac{2}{4^2} - \frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{2}{16} - \frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{3}{8} $


Entonces, la pendiente \( m \) es:
$ m = -\frac{3}{8} $


3. Ahora calculemos \( y_0 = f(x_0) \):
$ f(4) = \frac{2}{4} - \sqrt{4} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$ y_0 = mx_0 + b $

$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{8} \cdot 4 + b $

$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + b $
Despejamos \( b \):
$ b = 0 $

4. Reemplazamos los valores de \( m \) y \( b \) en la ecuación de la recta: $ y = -\frac{3}{8}x + 0 $
$ y = -\frac{3}{8}x $

La ecuación de la recta tangente es: $ y = -\frac{3}{8}x $
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Avatar Magdalena 25 de junio 18:20
holaa, no entiendo como derivaste el 2/X

Avatar Julieta Profesor 26 de junio 15:12
@Magdalena Hola Magda! Mira, el primer término podemos derivarlo de diferentes formas.. o lo reescribís como $2x^{-1}$ y derivas como una potencia, o pensas que es lo mismo que tener $2 \frac{1}{x}$ y derivas eso. Yo voy a ir por la segunda. Si reescribo $\left( \frac{2}{x} \right)'$ como $\left( 2 \frac{1}{x} \right)'$, como la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$, me queda $-\frac{2}{x^2}$:


$ \left( \frac{2}{x} \right)' = -\frac{2}{x^2} $


Avatar Emilia 21 de octubre 11:16
hola juli, cuando calculamos f(x0), tenemos que hacer la raiz cuadrada de 4, pero tiene dos soluciones, 2 y -2, osea que un resultado es -3/2 y el otro es 5/2, como se despues cual es el que "corresponde"?
Avatar Julieta Profesor 23 de octubre 13:04
@Emilia Hola Emi, entiendo tu confusión, cuando calculamos f(x0), es decor f(4) vos reemplazas ese valor en la derivada y resolves. Te queda raíz cuadrada de 4, eso siempre da 2 positivo. No existe la raíz cuadrada de un número negativo. 

Me suena a que te estás confundiendo con despejar una x que esté dentro de la raíz cuadrada y que sea igual a 4:

$\sqrt{x} = 4$, y ahí sí tenés dos soluciones posibles (2 y -2), pero ahí vos estás despejando x, mientras que en el ejercicio propuesto vos estás reemplazando la x en una función.
Avatar juliana 14 de octubre 13:53
la pendiente me dio -3/4..no se en que cuenta me equivoco..porque -1/8 -1/4 me da =-3/8


Avatar Julieta Profesor 14 de octubre 15:07
@Juliana Ju, no entendí, o sea, al final te dio - 3/8. Tenés que hacer denominador común, podés ver cómo se hacen en el video de fracciones de los ejercicios preliminares. Acá lo resolví con fracciones equivalentes, pero si lo hacés sacando denominador común llegas a lo mismo :D
Avatar Milagros 9 de octubre 11:42
Profe en -3/2=-3/2+b
Abajo puse -3/2+3/2=b
0=b esta bien?
Avatar Julieta Profesor 14 de octubre 15:01
@Milagros Perfecto Mili, sí!!!
Avatar Abigail 7 de octubre 21:47
profe cual seria la regla de la derivada de a/x para el 2/x? no la reconozco en la tabla
Avatar Abigail 9 de octubre 13:31
@Abigail en la derivada no se podria usar 2x a la menos 1? en que momentos se puede aplicar? 
Avatar Julieta Profesor 14 de octubre 15:05
@Abigail Ahhh, muy interesante, eso lo vimos. Acordate que podés separar la expresión como 2 . 1/x, y cuando te queda la x en el denominador con un 1 en el numerador podés escribirma como $x^{-1}$, así que pasas de tener $\frac{2}{x}$ a tener $2 . x^{-1}$. Y eso se deriva como $a x^n$
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