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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{2}{x}-\sqrt{x}$ en $x_{0}=4$
b) $f(x)=\frac{2}{x}-\sqrt{x}$ en $x_{0}=4$
Respuesta
Más de lo mismo.. este es un ejercio muy de parcial..
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1. Planteamos la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es:
$ y = mx + b $
Para el punto \((x_0, y_0)\) nos queda:
$ y_0 = mx_0 + b $
donde \(m = f'(x_0)\) y \(y_0 = f(x_0)\)
2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente \(m = f'(x_0)\):
$ f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{x} $
Para derivar \( f(x) \), aplicamos las reglas de derivación que ya vimos:
$ f'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \sqrt{x} \right)' $
Usamos la regla de la derivada de una función de la forma \( \frac{a}{x} \):
$ \left( \frac{2}{x} \right)' = -\frac{2}{x^2} $
Y la regla de la derivada de una raíz cuadrada:
$ \left( \sqrt{x} \right)' = \left( x^{1/2} \right)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:
$ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $
Ahora evaluamos la derivada en \( x_0 = 4 \):
$ f'(4) = -\frac{2}{4^2} - \frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{2}{16} - \frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{3}{8} $
Entonces, la pendiente \( m \) es:
$ m = -\frac{3}{8} $
3. Ahora calculemos \( y_0 = f(x_0) \):
$ f(4) = \frac{2}{4} - \sqrt{4} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$ y_0 = mx_0 + b $
$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{8} \cdot 4 + b $
$ -\frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + b $
Despejamos \( b \):
$ b = 0 $
4. Reemplazamos los valores de \( m \) y \( b \) en la ecuación de la recta:
$ y = -\frac{3}{8}x + 0 $
$ y = -\frac{3}{8}x $
La ecuación de la recta tangente es: $ y = -\frac{3}{8}x $